若α₁，α₂，α₃线性无关，则α₁+α₂，α₂+α₃,α₃+α₁也线性无关.

判断下列命题(或说法)是否正确，为什么？

(1)如果向量可由向量组a₁，a₂，a₃线性表示，即则表示系数k₁，k₂，k₃不全为零;

(2)若向量组a₁，a₂，…，a_n是线性相关的，则a₁一定可由线性表示;

(3)若向量组a₁，a₂线性相关，向量组1，2线性相关，则有不全为零的数k₁，k₂线性相关;

(4)如果存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_n使则向量组，a₁，…，a_n线性无关;

(5)若a₁，a₂，a₃在线性无关a₂，a₃，a₁线性相关，则a₁不可a₁，a₂，a₃线性表示。

A.若对任意一组不全为零的都有则线性无关

B.若线性相关，则对于任意一组不全为零的数有

C.线性无关的充要条件是此向量组的秩为s

D.线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关

设三维线性空间V上的线性变换在基ε₁，ε₂，ε₃下的矩阵为：

1)求在基ε₃，ε₂，ε₁下的矩阵;

2)求在基ε₁，kε₂，ε₃下的矩阵，其中k∈P且k≠0;

3)求在基ε₁+ε₂，ε₂，ε₃下的矩阵。

V是n维复线性空间，是V上线性变换，证明：

1)不变的每一个根子空间;

2)若只有一个非常数不变因子，则是的多项式;

3)若与可交换的线性变换仅有的多项式，则只有一个非常数不变因子。

设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，而向量组试判断向量组β₁，β₂，β₃的线性相关性。

设有向量组证明：

(1)A的任何部分组线性相关，则整体组线性相关;

(2)向量组A线性无关，则A的任何部分组线性无关。

设π₁,π₂是集合A的两个划分.称π₁π₂为π₁和π₂的积划分,它是满足下列条件的A的划分:

(1)π₁π₂细于π1和π₂.

(2)如果A的划分π细于π1,π2,则π必细于π1 π2.

1,π₂是集合A上的划分,π₁+π₂称为π₁,π₂的和划分,它是满足下列条件的A的划分:

(1)π₁细于π₁+π₂,π₂细于π₁+π₂.

(2)若有A的划分π₁.rπ₂细于π₁π₂.细于π₁.那么π₁π₂.细于π₂,

求证:(1)若R₁,R₂分别为π₁,π₂对应的等价关系,那么π₁●π₂是等价关系R₁∩R₂所对应的划分

(2)若R₁,和R₂,分别为π₁,π₂所对应的等价关系,那么(R₁UR₂)是对应于和划分π₁+π₂;的A上的等价关系.

设n维向量组α₁，α₂，α₃，α₄，若令，讨论β₁，β₂，β₃，β₄的线性相关性。

设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换在基ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵是一若尔当块。证明：

1)V中包含ε₁的-子空间只有V自身;

2)V中任一非零-子空间都包含ε_n;

3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。

设α₁，α₂，...，α_r是一组线性无关的向量，

证明：β₁，β₂，...，β_r线性无关的充分必要条件是