求平面和柱面x2＋y2=1的交线上与xOy平面距离最短的点．

计算下列第二型曲面积分：

(1)其中S是由平面x=0，y=0，z=0与x+y+z=1所围四面体的外侧。

(2)其中S是柱面x²+y²=a²(0≤z≤1)的外侧。

(3)其中S是圆锥面z=√(x²+y²)(0≤z≤h)的下侧。

(4)，其中S是由锥面z=√(x²+y²)与平面z=1，z=2所围立体边界曲面的外侧。

求一物体的体积，此物体的界面为:平面z=0，抛物面，以及以球面与这个抛物面的交线为准线的正柱面(a,b,c＞0).

利用柱面坐标计算下列三重积分:

(1),其中Ω是由曲面及z=x²+y²所围成的闭区域;

(2),其中Ω是由曲面x²+y²=2z及平面z=2所围成的闭区域.

求，其中Γ为x²+y²+z²=1与x²+y²=x(z≥0)的交线，从x轴正向看Γ是逆时针。

求曲面积分

其中S是由抛物面z=x²+y²介于平面z=1与z=4之间的部分,法线方向向下,f(x,z,y)为连续函数.

利用二重积分求下列立体Ω的体积：

(1)由曲面z=1-x²-y²和平面y=x、y=√3x、z=0所围区域在第一卦限中的部分;

(2)由曲面z=x²+y²与z=√(x²+y²)所围立体;

(3)在抛物面z=x²+y²以下，Oxy平面以上，且在圆柱面x²+y²=2x之内的部分的体积;

(4)由曲面2y²=x、x/4+y/2+z/4=1，z=0所围立体。

计算下列对坐标的曲面积分:

(1)，其中是圆x²+y²≤R²,z=0的下侧;

(2)，其中是柱面x²+y²=1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧.

(3)

其中f(x,y,z)为连续函数，是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧;

(4)，其中是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.

计算下列第一型曲面积分：

(1)其中S为平面在第一卦限的部分;

(2)，其中S是曲面z=x+y²，0≤x≤1，0≤y≤2;

(3)，其中S为球面x²+y²+z²=a²;

(4)其中S为锥面z=√(x²+y²)被柱面x²+y²=2ax所截得的有限部分。

求半球面含于柱面x²+y²=ax内部的那一部分的面积.